Frank Kannetzky
Grundkurs Logik: Prädikatenlogik

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Symbolisierung und Definitionen der Prädikatenlogik

• Quantoren
• Ausdrucksdefinition
• Das logische Quadrat
• Venn-Diagramme
• Natürliches Schliessen
• Einschränkungen der Einführungs- und Beseitigungsregeln für Quantoren
• Wichtige Quantorenregeln
• Identität

Die Quantoren

Quantoren binden Gegenstandsvariable und machen damit aus Aussageformen Aussagen. Sie stehen damit gewissermaßen für "allgemeine Satzsubjekte" wie: alle, alles, jeder, manche, einige, kein, niemand. Sie werden wie folgt gelesen:

• x -- "Für alle Gegenstände x gilt..." oder "Alle x sind ...", wobei sich das x auf den zugrundegelegten Gegenstandsbereich bezieht. Sind dies z.B. Personen, dann wird x als "Für alle Personen gilt ..." gelesen.
  
• x -- "Es gibt (mindestens) ein x, das/so daß ..." oder "Einige/manche x sind...".
  x wird als "Es gibt kein x, das ..." oder "Kein x ..." gelesen.
  

Der Bereich eines Quantors ist der ihm unmittelbar folgende Ausdruck. Variable, die im Bereich eines Quantors stehen, heißen gebundene Variable. Variable, die nicht durch einen Quantor gebunden sind, heißen freie Variable.

Beispiele:
x:Px; xy:Rxy Qz; Pz; y:Ryz
x,y sind in allen Vorkommen gebunden, z ist frei

Ausdrucksdefinition der Prädikatenlogik

Alphabet: Erweiterung des Alphabets der Aussagenlogik um:

• Individuenkonstante a,b,c... mit und ohne Indizes
• Individuenvariable x,y,z... mit und ohne Indizes
• Prädikatenkonstante P,Q,R mit und ohne Indizes
• Quantoren (Allquantor, Generalisator) und (Existenzquantor, Partikularisator)

DEF: Sind x₁, ...,x_n Individuenvariable und ist P eine n-stellige Prädikatenvariable, dann ist P(x₁, ...,x_n) eine (n-stellige) Aussageform.

DEF: Eine endliche Folge von Symbolen heißt prädikatenlogische Formel gdw es sich um einen der folgenden Fälle handelt:

1. eine alleinstehende Aussagenvariable oder eine Aussageform ist Formel
2. wenn A und B Formeln sind, so sind (AB), (AB), (AB), (AB) Formeln
3. wenn A Formel ist, dann ist A Formel
4. wenn A Formel ist und x eine Individuenvariable, dann sind x:A (bzw. x(A)) und x:A (bzw. x(A)) Formeln.

Festlegung des Hauptjunktors wie in der AL; für die Klammerkonvention wird vereinbart, daß die Quantoren die gleiche Bindungsstärke haben sollen wie die Negation.

Die Verhältnisse am logischen Quadrat

Es gelten die folgenden Beziehungen:

• bei kontradiktorischen Gegensätzen (Widersprüchen) ist genau ein Ausdruck wahr (und genau einer falsch), aus der Wahrheit des einen kann man auf die Falschheit des anderen schließen
• konträre Gegensätzen können beide zugleich falsch sein, aber nicht zugleich wahr (deutlicher bei äquivalente Umformung des rechten Ausdrucks: x:Px)
• subkonträren Gegensätzen können zusammen wahr, aber nicht zusammen falsch sein (deutlicher bei äquivalente Umformung des rechten Ausdrucks: x:Px)
• bei der Subalternation kann man (syllogistisch immer, prädikatenlogisch mit Einschränkungen) aus dem oberen auf den unteren Ausdruck schließen (aber nicht umgekehrt)

Venn-Diagramme

Venn-Diagramme stellen ein Entscheidungsverfahren für die einstellige Prädikatenlogik dar, bei dem versucht wird, eine falsifizierendes Modell für Ausdrücke zu konstruieren. Gelingt dies nicht, d.h. erzwingt die Wahrheit der Prämissen die Wahrheit der Konklusion, dann ist ein Argument (bzw. die entsprechende Formel (es gilt das Deduktionstheorem) prädikatenlogisch gültig.

Vorgehensweise: Es wird ein grafisches Modell der Prämissen erstellt und dann überprüft, ob dies auch ein Modell für die Konklusion ist. Die Konstruktionsvorschriften sind die folgenden:

• der Individuenbereich des Modells wird durch ein Rechteck dargestellt
• für jedes Prädikat, das in der zu untersuchenden Formel vorkommt, wird ein Kreis eingezeichnet. Die Kreise, die für verschiedene Prädikate (bzw. deren Extension) stehen, überschneiden sich.

• Die im Kreis liegenden Individuen gehören zur Extension von P, die außerhalb liegenden zur nicht. (Da in der klassischen Logik Antiextension und Komplement zusammfallen, gehören letztere zur Extension von P.)
• Die Existenz eines Individuums wird durch ein Kreuz "+" im entsprechenden Sektor der Grafik angezeigt, die Behauptung, daß im entsprechenden Sektor keine Individuen existieren, durch Schraffur des Sektors.

• Die gegebene Prädikate verknüpfenden Junktoren werden wie folgt dargestellt

Ein Argument (bzw. eine Formel) ist gültig, wenn die Modelle der Prämissen zugleich immer Modelle der Konklusion sind.

Beispiele:

	x:Px x:Qx x(PxQx) Die Prämisse fordert, daß es in den Bereichen P und Q jeweils mindestens ein Individuum gibt -- aber nicht, daß es eines geben muß, welches zugleich zu P und Q gehört. Der Schluß ist falsch.
	x:Px x:Px Das Vorderglied des Ausdrucks fordert, daß alle Individuen des Grundbereichs zur Extension von P gehören. Da der Grundbereich nichtleer ist (Modellbedingung, nicht zu verwechseln mit der syllogistischen Forderung, daß die Begriffe nicht leer sind!), ist jedes Modell des Vordergliedes auch ein Modell des Nachgliedes. Der Ausdruck ist gültig.
	x(PxQx) x(PxQx) Das Vorderglied besagt nichts darüber, ob es ein Individuum gibt, welches unter P fällt, und die Modellbedingung verlangt nur, daß es mindestens Individuum im Grundbereich gibt, etwa im Bereich von (PxQx). Damit hat man ein falsifizierendes Modell des Nachgliedes, der Ausdruck ist nicht gültig.
	x(PxQx) x(PxRx) x(RxQx)

Natürliches Schliessen

Regeln:

1. die Regeln des Aussagenkalküls, wobei die Metavariablen nun als Metavariablen für beliebige prädikatenlogische Formeln gedeutet werden
2. die Strukturregeln für direkte und indirekte Beweise wie in der AL
3. Einführungs- und Beseitigungsregeln für Quantoren

Bei der Anwendung dieser Regeln sind folgende Einschränkungen zu beachten:

• B und E können ohne Einschränkung verwendet werden
• Negationen vor Quantoren sind zu beseitigen, ehe eine - oder -Elimination vorgenommen wird
• E: Alle Vorkommen der Individuenkonstante bzw. freien Variablen im Bereich des Quantors werden ersetzt! Die durch E beseitigte Individuenkonstante darf nicht in den Prämissen des Beweises vorkommen, gleiches gilt für freie Variable! Die ersetzte IK oder IV darf nicht von anderen IV oder IK abhängen (s. Einschränkung für B!), die in Formeln vorkommen, die nicht aus einer Allaussage deduziert wurden (Faustregel: die Generalisierung darf nur vorgenommen werden, wenn die zu generalisierende Formel aus einer oder mehreren Allaussagen gewonnen wurde!)
• Wird in einem Beweis B angewendet, so ist jedesmal eine Individuenkonstante zu wählen, die im Beweis noch nicht vorkommt! Die in x:Hx frei vorkommenden Variablen werden als von a abhängige Variable betrachtet (s. Einschränkung E).

Wichtige Qantorenregeln

1. Quantoren und Negation
   • x:H x:H
   • x:H x:H
   • x:H x:H
   • x:H x:H
2. Vertauschung von Quantoren
   • xy:H yx:H
   • xy:H yx:H
   • xy:H yx:H
3. Distribution von Quantoren
   • x(HG) (x:H x:G
   • x(HG) x:Hx:G
   • x(HG) x:Hx:G
   • x:Hx:G x:(HG)
   • x(HG) x:Hx:G
4. Verschiebung von Quantoren
   Für die folgenden Ausdrücke gilt: x=y, wenn x im jeweils anderen Implikationsglied nicht vorkommt, andernfalls muß die Variable umbenannt werden ("neue Variable"!)
• (x:HG) y(H[x/y]G)
• (x:HG) y(H[x/y]G)
• Hx:G y(HG[x/y])
• Hx:G y(HG[x/y])
Für die folgenden Ausdrücke gilt: x kommt in p nicht frei vor!
• x(pHx) px:Hx
• x(pHx) px:Hx

Identität

Ergänzung der PL um eine konstante Relation, die Identitätsrelation =. Sie bezieht sich auf verschiedene Benennungen eines Gegenstandes, nicht auf den Gegenstand selbst. (Dies gilt gleichfalls für die Negation der Identitätsrelation )

Die Ausdrucksdefinition der PL wird entsprechend erweitert: Sind x,y Individuenvariablen oder Individuenkonstanten, dann ist auch x=y prädikatenlogische Formel. Zwecks Abkürzung wird vereinbart: x=y xy

Mit der Identität sind die Ausdrucksmöglichkeiten der PL erheblich erweitert, insbesondere werden Anzahlaussagen möglich:

• Es gibt höchstens ein x, so daß Px: xy(Pxx=y)
• Es gibt genau ein x, so daß Px (Einzigkeitsbedingung): x:Px y(Pyx=y)
• Wenigstens zwei Dinge haben die Eigenschaft P: xy(PxPyxy)
• P trifft mindestens auf zwei Dinge zu: xyz(PxPyPz x=y x=z y=z)
• Es gibt genau zwei Dinge mit der Eigenschaft P Es gibt mindestens zwei Dinge mit der Eigenschaft P und es gibt höchstens zwei Dinge mit der Eigenschaft P
• Superlative, Bsp: a ist die größte natürliche Zahl (Nx -- x ist eine natürliche Zahl, x>y -- x ist größer als y) Nax(Nx xa a>x)

Das System des natürlichen Schließens wird um zwei Regeln erweitert:

• E= Einführung der Identität: x=x darf ohne Prämissen als zusätzliche Beweiszeile eingeführt weden
• B= Ersetzbarkeitsregel für Identitäten: Hx, x=y H[x/y], wobei im Ergebnis der Ersetzung keine freie Variable gebunden werden darf.