Frank Kannetzky
Grundkurs Logik: Prädikatenlogik

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Symbolisierung und Definitionen der Prädikatenlogik

Die Quantoren

Quantoren binden Gegenstandsvariable und machen damit aus Aussageformen Aussagen. Sie stehen damit gewissermaßen für "allgemeine Satzsubjekte" wie: alle, alles, jeder, manche, einige, kein, niemand. Sie werden wie folgt gelesen:

Der Bereich eines Quantors ist der ihm unmittelbar folgende Ausdruck. Variable, die im Bereich eines Quantors stehen, heißen gebundene Variable. Variable, die nicht durch einen Quantor gebunden sind, heißen freie Variable.

Beispiele:
x:Px; xy:Rxy Qz; Pz; y:Ryz
x,y sind in allen Vorkommen gebunden, z ist frei

Ausdrucksdefinition der Prädikatenlogik

Alphabet: Erweiterung des Alphabets der Aussagenlogik um:

DEF: Sind x1, ...,xn Individuenvariable und ist P eine n-stellige Prädikatenvariable, dann ist P(x1, ...,xn) eine (n-stellige) Aussageform.

DEF: Eine endliche Folge von Symbolen heißt prädikatenlogische Formel gdw es sich um einen der folgenden Fälle handelt:

  1. eine alleinstehende Aussagenvariable oder eine Aussageform ist Formel
  2. wenn A und B Formeln sind, so sind (AB), (AB), (AB), (AB) Formeln
  3. wenn A Formel ist, dann ist A Formel
  4. wenn A Formel ist und x eine Individuenvariable, dann sind x:A (bzw. x(A)) und x:A (bzw. x(A)) Formeln.

Festlegung des Hauptjunktors wie in der AL; für die Klammerkonvention wird vereinbart, daß die Quantoren die gleiche Bindungsstärke haben sollen wie die Negation.

Die Verhältnisse am logischen Quadrat


Es gelten die folgenden Beziehungen:

Venn-Diagramme

Venn-Diagramme stellen ein Entscheidungsverfahren für die einstellige Prädikatenlogik dar, bei dem versucht wird, eine falsifizierendes Modell für Ausdrücke zu konstruieren. Gelingt dies nicht, d.h. erzwingt die Wahrheit der Prämissen die Wahrheit der Konklusion, dann ist ein Argument (bzw. die entsprechende Formel (es gilt das Deduktionstheorem) prädikatenlogisch gültig.

Vorgehensweise: Es wird ein grafisches Modell der Prämissen erstellt und dann überprüft, ob dies auch ein Modell für die Konklusion ist. Die Konstruktionsvorschriften sind die folgenden:

ein Prädikat P zwei Prädikate P,Q drei Prädikate P,Q,R
x: Px x: Px x: Px
bzw.
x:Px
x:Px
bzw.
x:Px
PxQx PxQx PxQx PxQx

Ein Argument (bzw. eine Formel) ist gültig, wenn die Modelle der Prämissen zugleich immer Modelle der Konklusion sind.

Beispiele:

x:Px x:Qx x(PxQx)
Die Prämisse fordert, daß es in den Bereichen P und Q jeweils mindestens ein Individuum gibt -- aber nicht, daß es eines geben muß, welches zugleich zu P und Q gehört. Der Schluß ist falsch.
x:Px x:Px
Das Vorderglied des Ausdrucks fordert, daß alle Individuen des Grundbereichs zur Extension von P gehören. Da der Grundbereich nichtleer ist (Modellbedingung, nicht zu verwechseln mit der syllogistischen Forderung, daß die Begriffe nicht leer sind!), ist jedes Modell des Vordergliedes auch ein Modell des Nachgliedes. Der Ausdruck ist gültig.
x(PxQx) x(PxQx)
Das Vorderglied besagt nichts darüber, ob es ein Individuum gibt, welches unter P fällt, und die Modellbedingung verlangt nur, daß es mindestens Individuum im Grundbereich gibt, etwa im Bereich von (PxQx). Damit hat man ein falsifizierendes Modell des Nachgliedes, der Ausdruck ist nicht gültig.
x(PxQx) x(PxRx) x(RxQx)

Natürliches Schliessen

Regeln:

  1. die Regeln des Aussagenkalküls, wobei die Metavariablen nun als Metavariablen für beliebige prädikatenlogische Formeln gedeutet werden
  2. die Strukturregeln für direkte und indirekte Beweise wie in der AL
  3. Einführungs- und Beseitigungsregeln für Quantoren

Regeln Allquantor Existenzquantor
Einführung E
H(a)
x:H(x)
E
H(a)
x:H(x)
Beseitigung B
x:H(x)
H(a)
B
x:H(x)
H(a)

Bei der Anwendung dieser Regeln sind folgende Einschränkungen zu beachten:

Wichtige Qantorenregeln

  1. Quantoren und Negation
    • x:H x:H
    • x:H x:H
    • x:H x:H
    • x:H x:H
  2. Vertauschung von Quantoren
    • xy:H yx:H
    • xy:H yx:H
    • xy:H yx:H
  3. Distribution von Quantoren
    • x(HG) (x:H x:G
    • x(HG) x:Hx:G
    • x(HG) x:Hx:G
    • x:Hx:G x:(HG)
    • x(HG) x:Hx:G
  4. Verschiebung von Quantoren
    Für die folgenden Ausdrücke gilt: x=y, wenn x im jeweils anderen Implikationsglied nicht vorkommt, andernfalls muß die Variable umbenannt werden ("neue Variable"!)
    • (x:HG) y(H[x/y]G)
    • (x:HG) y(H[x/y]G)
    • Hx:G y(HG[x/y])
    • Hx:G y(HG[x/y])
    Für die folgenden Ausdrücke gilt: x kommt in p nicht frei vor!
    • x(pHx) px:Hx
    • x(pHx) px:Hx

Identität

Ergänzung der PL um eine konstante Relation, die Identitätsrelation =. Sie bezieht sich auf verschiedene Benennungen eines Gegenstandes, nicht auf den Gegenstand selbst. (Dies gilt gleichfalls für die Negation der Identitätsrelation )

Die Ausdrucksdefinition der PL wird entsprechend erweitert: Sind x,y Individuenvariablen oder Individuenkonstanten, dann ist auch x=y prädikatenlogische Formel. Zwecks Abkürzung wird vereinbart: x=y xy

Mit der Identität sind die Ausdrucksmöglichkeiten der PL erheblich erweitert, insbesondere werden Anzahlaussagen möglich:

Das System des natürlichen Schließens wird um zwei Regeln erweitert: