Analyse von Wachstumsvorgängen

von Uwe Gille

1. Einleitung

Die Größe eines Individuums und seiner Teile unterliegt altersabhängigen Veränderungen. Durch unterschiedliches Wachstum einzelner Teile (differentielles Wachstum) vollzieht der Organismus dabei auch Gestaltsveränderungen (Proportionsänderungen).


Abb. 1: Körpermassewachstum, Stockente

Allerdings ist es in den seltensten Fällen möglich, Wachstumsvorgänge in ihrer Stetigkeit zu erfassen. Daher ist es sinnvoll, gewonnene Meßreihen durch mathematische Funktionen zu modellieren und daraus auf nicht beobachtete Abschnitte im Wachstumsverlauf zu interpolieren. Zusätzlich erreicht man eine gewisse Glättung der Meßwertfolge und eliminiert teilweise zufällige Fehler. Des weiteren ergibt sich die Möglichkeit, interessierende Kenngrößen wie Wachstumsgeschwindigkeit und Wendepunkte zu berechnen. Schließlich erreicht man eine Informationskomprimierung auf wenige, den Wachstumsverlauf charakterisierende Parameter.

Wachstumsgrößen lassen sich in ihrer Abhängigkeit von der Zeit (Alter) oder als Funktion der Körpermasse oder anderer Organe darstellen.

2. Wachstum in Abhängigkeit von der Zeit

Bei der Beschreibung von Wachstumsvorgängen als Funktion der Zeit lassen sich verschiedene Wachstumstypen unterscheiden. Das sogenannte Sättigungswachstum (Abb. 2, rote Kurve), das man häufig beim Schädelskelett oder dem Gehirn findet, ist durch eine stetig fallende Wachstumsgeschwindigkeit gekennzeichnet. Die Körpermasse und die meisten Organe folgen dem sigmoidförmigen Wachstum (Abb. 1 & 2, schwarze Kurve), d.h. eine Phase steigender Wachstumsgeschwindigkeit wird von einer fallender gefolgt. Der Wendepunkt der Wachstumskurve, ist der Punkt wo die Kurve von konkav nach konvex umschlägt. In der ersten Ableitung (Wachstumsgeschwindigkeit, Zuwachs) liegt an dieser Stelle ein Maximum (Abb. 1). Der Wendepunkt definiert also, wann das Tier oder ein Organ am schnellsten wächst. Ein Sonderfall dieses Wachstumstyps sind mehrfach sigmoidale Wachstumsverläufe, bei denen mehrere Maxima in der Zuwachskurve auftreten. Als dritter Typ ist das glockenförmige Wachstum (Abb. 2, blaue Kurve) zu nennen. Er findet sich bei einigen Organen, die durch eine Involution gekennzeichnet sind (Thymus, Bursa Fabricii). Hierbei kommt es nach anfänglicher Zunahme wieder zu einer Abnahme der Organgröße, was sich in negativer Wachstumsgeschwindigkeit äußert.


Abb. 2: Wachstumstypen

Für die genannten Wachstumstypen sind eine Vielzahl von mathematischen Funktionen vorgeschlagen worden. Keine dieser Wachstumsfunktionen erfüllt allerdings die Anforderungen an ein biophysikalisches Modell im engeren Sinne, so daß deren Approximation lediglich eine phänomenologische Analyse der Wachstumsverläufe ermöglicht. Es ist zu beachten, daß diese Funktionen zum Teil immanente mathematische Eigenschaften haben. Dies muß bei der Funktionswahl für den jeweiligen konkreten Fall berücksichtigt werden. Ist z.B. eine Funktion a priori wendepunktslos, so stellt sich im Ergebnis auch kein Wendepunkt dar, obwohl der Meßwertverlauf eigentlich einen solchen aufweist. Daher ist es zweckmäßig, die Grundeigenschaften der Wachstumsfunktionen zu kennen und sie bei der Modellwahl zu berücksichtigen.

2.1 Einige wichtige Ansätze

2.1.1 Gompertz-Funktion

Die von Gompertz 1825 zur Berechnung von Sterbetafeln aufgestellte Funktion (GOMPERTZ, B. (1825): On the nature of the function expressive of the law of human mortality, and a new mode of determining the value of live contengencies. Phil. Trans. Roy. Soc. 182, 513-585) ist immer noch eine der häufig verwendeten Formeln in der Wachstumsmathematik. Sie lautet:

W=A*Exp(-Exp(b-ct)).

W ist die entsprechende Wachstumsgröße (Masse, Länge, Durchmesser...) zum Zeitpunkt t. A ist der Endwert oder die Asymptote, da dieser Endwert theoretisch erst bei t gegen unendlich erreicht wird. Die Parameter b und c charakterisieren Anstieg und Wendepunkt der Kurve.

Die erste Ableitung (Wachstumsgeschwindigkeit) ist

W'=A* Exp(-Exp(b-ct))*c*Exp(b-ct).

Die Wendepunktskoordinaten ergeben sich aus der Nullstelle der zweiten Ableitung und lassen sich über

tw=b/c und
Ww=A/e (e=Euler'sche Zahl)

berechnen. Aus der letzten Formel ist ersichtlich, daß der Wendepunkt immer in einem konstanten Verhältnis zum Endwert steht. Auch wenn die eigentlichen Urdaten ihn an einer ganz anderen Stelle hätten, er liegt stets bei rund 36,8 % (1/e) des Endwertes. Glücklicherweise trifft das für viele Wachstumsprozesse zu, aber eben nicht für alle.

Merke: Die Gompertz-Funktion kann zu Modellierung sigmoidaler Wachstumsprozesse verwendet werden, bei denen der Wendepunkt etwa bei 1/3 des Adultwertes liegt.

2.1.2 Logistische Funktion

Die bereits 1838 von Verhulst vorgeschlagene Funktion (VERHULST, P.F.(1838): Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement. Corr. Math. Phys. 10, 113-121.) war eigentlich zur Modellierung des Populationswachstums vorgesehen, sie läßt sich aber auch bei somatischen Vorgängen verwenden. Sie lautet:

W=A/(1+b*Exp(-ct)).

A ist wieder der Endwert, b und c freie Parameter zur Modulierung der Kurvenform. Ihre erste Ableitung lautet

W'=(Abc*Exp(-ct))/((1+b*Exp(-ct)^2)

und die Wendepunktskoordinaten

tw= lnb/c   und
Ww=A/2.

Auch bei der logistischen Funktion ist also der Wendepunkt, unabhängig von den zugrundeliegenden Daten (!), fix.

Merke: Die Logistische Funktion kann zu Modellierung sigmoidaler Wachstumsprozesse verwendet werden, bei denen der Wendepunkt etwa bei 50% des Adultwertes liegt.

2.1.3 Bertalanffy-Massefunktion

Die von v. Bertalanffy 1957 abgeleitete Funktion (BERTALANFFY, L.v. (1957): Wachstum. In: HELMCKE, J.G., H.v.LEN-GERKEN und G.STARCK (Ed.): Handbuch der Zoologie. Berlin: W. de Gruyter, Bd. 8, 10. Lieferung, 1-68) ist für das Körpermassenwachstum konzipiert worden. Sie lautet

W=(a/b-(a/b-W0^1/3)*Exp(-1/3bt))^3.

W0 ist der Anfangswert (bei t=0), der Endwert A ist gleich (a/b)^3. Ihre Wendepunktkoordinaten lauten

tw=2/b*ln(3*(a/b-W0^1/3)/(a/b))  und
Ww=A*8/27.

Auch hier ist der Wendepunkt fixiert, bei 8/27, also etwa 29,63 % des Endwertes.

Merke: Die Bertalanffy-Funktion kann zu Modellierung sigmoidaler Wachstumsprozesse verwendet werden, bei denen der Wendepunkt etwa bei 30% des Adultwertes liegt.

2.1.4 Brody-Funktionen

Brody hat 1945 den sigmoidalen Verlauf in zwei wendepunktslose Teilstücke zerlegt (BRODY, S. (1945): Bioenergetics and growth. New York: Reinhold). Die erste Funktion ist exponentiell steigend:

W=W0*Exp(kt).

Der Endwert ist unendlich, damit läßt sich diese Funktionen nur in bestimmten Teilabschnitten verwenden und kann nicht extrapoliert werden. Den postinflektionären Abschnitt beschreibt Brody mit

W=A-b*Exp(-kt).

Diese Funktion ist einfach exponentiell fallend, eignet sich also zur Beschreibung von Sättigungswachstumsverläufen.

Merke: Brody-Funktionen sind entweder exponentiell steigend oder fallend und haben a priori keinen Wendepunkt. Die fallende Variante läßt sich zur Beschreibung von Sättigungswachstumsverläufen verwenden.

2.1.5. Richards-Funktion

Die 1959 von Richards vorgeschlagene Funktion (RICHARDS, F.J. (1959): A flexible growth curve for empirical use. J. Exp. Bot. 10, 290-300) ist die gegenwärtig am häufigsten verwendete im englischen Sprachraum. Sie lautet

W=A(1-b*Exp(-kt))^M.

Die erste Ableitung lautet

W'=A*b*k*M*Exp(-k*t)*(1-b*Exp(-k*t))^(M-1).

Der Wendepunkt liegt bei

tw=1/k ln(b*M)   und
Ww=A*((M-1)/M)^M

Bei der Richards Funktion ist der Wendepunkt also nicht fest an den Endwert adjustiert, sondern kann verschiedene Positionen einnehmen, was durch den Parameter M definiert wird. Zwischen 0<=M<1 ist Ww nicht definiert, für positive M Ww zwischen 0 und A/e, für negative Ww>A/e. Sie ist also sehr flexibel und darüber hinaus auch die Verallgemeinerung der anderen Wachstumsfunktionen. Bei M=3 geht sie in die Bertalanffy-Funktion, bei M=1 in die fallende Brody-Funktion, bei M=-1 in die Logistische Funktion und bei M gegen +/- unendlich in die Gompertz-Funktion über. Diese Flexibilität ist allerdings auch teuer erkauft. Die hohe gegenseitige Beeinflussung der Parameter (b, k, M), auch Kovarianz genannt, erschwert die Anpassung. Es treten häufig Konvergenzprobleme bei der nichtlinearen Regression (s.u.) auf.

Merke: Die Richards-Funktion ist die Verallgemeinerung der klassischen Wachstumfunktionen und sehr flexibel. Sie kann sowohl Sättigungsverläufe als auch sigmoidales Wachstum modellieren. Bei der praktischen Anwendung hat man aber häufiger mit Konvergenzproblemen zu rechnen.

2.1.6. Janoschek-Funktion

Die 1957 vom Giessener Janoschek entwickelte Funktion (JANOSCHEK, A. (1957): Das reaktionskinetische Grundgesetz und seine Beziehungen zum Wachstums- und Ertragsgesetz. Stat. Vjschr. 10, 25-37) ist zwar fast genauso flexibel, durch die Publikation in Deutsch aber im englischen Sprauchraum weitgehend unbekannt geblieben. Sie lautet

W=A-(1-Exp(-b*t^c).

Die von Sager (SAGER, G. (1978): Zuwachsfunktionen vom Typ dw/dt=k·t^p(E-W)^n und ihre Integrale. Anat. Anz. 144, 366-374.) für Anfangswerte größer Null erweiterte Form, die modifizierte Janoschek-Funktion lautet

W=A-(A-W0)*Exp(-k*t^p).

Für die Beschreibung postnataler Wachstumsvorgänge ist diese Funktion besser geeignet als die Grundform. Für die Wachstumsgeschwindigkeit der modfizierten Janoschek-Funktion gilt

W'=p*k*(A-W0)*Exp(-k*t^p)*t^(p-1).

Ihr Wendepunkt liegt bei

tw=((p-1)/pk)^1/p   und
Ww=A-(A-W0)*Exp(-(p-1)/p)).

Auch hier ist, wie bei der Richards-Funktion, der Wendepunkt optional. Bei p<1 treten Sättigungsverläufe, bei p>1 sigmoidale Verläufe auf. Der Wendepunkt ist ebenfalls flexibel zum Endwert und nicht von vornherein festgelegt: W0/A<Ww/A<(A-(A-W0)/e). Zudem treten selten Konvergenzprobleme auf.

Merke: Die Janoschek Funktion ist ähnlich flexibel wie die Richards-Funktion, allerdings leichter zu handhaben. Sie kann sowohl Sättigungs- als auch sigmoidale Verläufe modellieren.

2.2 Praktische Vorgehensweise

Zuerst empfiehlt es sich immer, die Meßwerte grafisch in ein Koordinatensystem einzuzeichen und Frei-Hand einen Trend zu zeichnen. Damit kann man meist schon Wendepunkte und ihre Lage erahnen und so ein geeignetes Modell auswählen.

Dann wird über nichtlineare Regression die entsprechende Funktion an die Meßwerte angepaßt (approximiert). Dazu benötigt man zuerst Startwerte, also Ausgangsschätzungen für die einzelnen Parameter. Diese werden dann in der nichtlinearen Regression schrittweise (iterativ) solange variiert, bis die Abstände der einzelnen Punkte von der Kurve minimal werden. Da sowohl positive wie auch negative Abweichungen minimal sein sollen, wird zumeist nach der Summe der Abweichungsquadrate schrittweise minimiert.

Die Algorithmen dazu benötigen meist einigermaßen gute Ausgangsschätzungen, da sie ansonsten nicht einer optimalen Lösung zustreben (konvergieren). Die Ausgangsschätzungen gewinnt man entweder aus sachlogischen Überlegungen (den Anfangs- oder Endwertwert kann man meist gut abschätzen) oder berechnet sie aus mehreren Messpunkten. Konvergenzprobleme treten auch auf, wenn die Parameter stark untereinander korrelieren, also z.B. die Erhöhung von Parameter 1 durch eine Erniedrigung von Parameter 2 kompensiert wird.

Theoretisch laufen solche iterativen Parameterverbesserungen als Endlosschleife, denn es gibt immer unendlich viele Lösungskombinationen der Parameter! Daher legt man ein Abbruchkriterium fest, d.h. einen Wert um den sich die einzelnen Parameter im Vergleich zum vorherigen Schritt ändern müssen, um noch als substantielle Verbesserung zu gelten. Gute Erfahrungen habe ich mit 0,1 % gemacht, ändern sich alle Parameter also um weniger als 1 Promille wird die Prozedur abgebrochen und das Parameterset wird als definitive Lösungskombination angesehen.

Nun kann man anhand der angepassten Funktion Ableitungen berechnen und stetige Kurven (einschließlich der Ableitungen) zeichnen. Zudem lassen sich verschiedene Kenngrößen, wie beispielsweise der Wendepunkt oder Zeiten bis zum Erreichen verschiedener Anteile am Endwert, errechnen. Außerdem lassen sich diese Kurven skalieren, indem man sie z.B. durch den Endwert teilt. Damit erhält man ein Bild wie z.B. ein Organ seinem Endwert zuwächst und kann es, unabhängig von der absoluten Größe, mit einem anderen vergleichen.

Die Beurteilung der Anpassungsgüte erfolgt über das nichtlineare Bestimmtheitsmaß B. Ist B=1, so geht die Kurve genau durch alle Punkte, was wohl kaum erreicht werden kann und soll. Im allgemeinen sollten die Werte deutlich höher 0,9 sein. Das Bestimmtheitsmaß erlaubt aber nur eine globale Einschätzung der Anpassungsgüte. Werden beispielsweise eine Reihe von aufeinanderfolgenden Meßwerten unter- und dann eine Reihe weiterer überschätzt, so spricht man von systematischen Abweichungen. Solche systematischen Abweichungen sind, auch bei hohen Bestimmtheitsmaßen, besonders kritisch einzuschätzen. Andererseits können einige Meßwerte deutlicher vom Kurvenverlauf abweichen und damit das Bestimmtheitsmaß deutlich vermindern. Sind diese Abweichungen aber durch zufällige Fehler verursacht (um das einzuschätzen bedarf es entweder sachlogischer Überlegungen oder Ausreißertests), so kann dennoch die Anpassung als gut eingeschätzt werden. Generell kann man also sagen, daß die Meßwerte sich zufällig um die Kurve verteilen sollen, sie sollten wenn nicht gar genau getroffen, abwechselnd leicht über- und unterschätzt werden und einzelne stärkere Abweichungen müssen nicht gleich als tragisch eingestuft werden.

3. Allometrie

Für vergleichende Darstellungen von Wachstumsvorgängen einzelner Teile des Organismus bedient man sich häufig der ontogenetischen Allometrie (oder Wachstumsallometrie). In der klassischen Allometrieformel

y=a*x^b

sind x die Körpermasse (oder ein anderes Bezugsmaß), y die jeweilige Organmasse (-länge usw.) sowie a und b freie Parameter. Der Exponent b ein Maß für das Verhältnis der relativen Wachstumsgeschwindigkeiten (absolute Wachstumsgeschwindigkeit dividiert durch die Wachstumsgröße zum selben Zeitpunkt). Die zugrundeliegende Differentialgleichung lautet nämlich

dy/y=b*dx/x.

Der Parameter a ist die Integrationskonstante und definiert den Schnittpunkt der Kurve mit der y-Achse. Ist b=1 spricht man von isometrischem, bei b<1 von negativ- und bei b>1 von positiv-allometrischem Wachstum. Allerdings gilt diese Grenze nur bei Maßen gleicher Dimension. Ist x die Körpermasse (3-dimensional) und y eine Länge (eindimensional), so ist b=1/3 isometrisch. Im doppelt logarithmierten Koordinatensystem wird aus der Exponentialkurve eine Gerade (Abb. 3), ln y=lna + b*lnx, und b ist ihr Anstieg (Tangens des Winkels).


Abb. 3: Allometrie

Bei einigen Organen ist b über die gesamte Entwicklung konstant (einfache Allometrie, Abb. 3 blau). Häufiger ist die Allometrie aber nicht über die gesamte Entwicklung konstant, sondern b ändert sich. Dies bezeichnet man als komplexe Allometrie (Abb. 3 rot). Für solche komplexen Allometrien sind ebenfalls Formeln entwickelt worden, einfacher ist es aber, den Gesamtverlauf in bestimmte Etappen mit annähernd gleichem Anstieg zu zerlegen. Schliesslich sei noch erwähnt, daß die moderne Allometrierechnung sich bei multivariaten Datensätzen häufig der Hauptkomponentenanalyse bedient.

Außerdem verwendet man die Potenzfunktion zum Interspezies-Vergleich morphologischer, aber auch physiologischer Größen bei adulten Tieren (interspezifische und phylogenetische Allometrie), wobei hier keine Wachstumsvorgänge beschrieben werden. Diese Allometrien unterscheiden sich häufig deutlich von den ontogenetischen Allometrien in ihren Exponenten.

Eine detailierte Darstellung von Wachstumsfunktionen, ihrer mathematischen Eigenschaften sowie Nutzen und Grenzen ihrer Anwendung findet der interessierte Leser in meiner Dissertation (Gille 1989). Sie ist in einer Beta-Version digitalisiert als pdf erhältlich: Download

Last updated 30.03.2004
U. Gille